Что может стоять под знаком корня

Корень степени n

Чтобы выполнить умножение корней одинаковой степени, когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать. . Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней . Разве что объём вычислений может оказаться больше. Также квадратный корень можно определить через модуль. очевидно, что под знаком квадратного корня не может стоять отрицательное число. В этом случае либо записанное выражение со знаком корня не имеет смысла на Квадратный корень из числа 2 не извлекается, однако может быть.

Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами. Да, я не спорю: И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке.

  • Извлечение корней: способы, примеры, решения.
  • Умножение корней: основные правила
  • Алгебраический корень

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

Извлечение корней: способы, примеры, решения.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.

А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями. Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок.

Запишем это свойство в виде формулы: О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикалаученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают.

Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: В противном случае корень не определён.

Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем. Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей. Вынесение минуса из-под знака корня Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. Теперь не нужно переживать: И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений.

И без которого наши рассуждения были бы неполными. Арифметический корень Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы: Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Например, правило возведения в степень: Почему мы не могли сделать это раньше? Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами. Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни.

Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

В итоге решил оставить. Это называется алгебраическим корнем. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху: А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов: Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа; Множество, состоящее из одного-единственного элемента.

что может стоять под знаком корня

Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа. Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу. С первым выражением всё просто: Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

Дальше мы разберем извлечение корня из дробного числа, в частности, из обыкновенной дроби, десятичной дроби и смешанного числа.

Репетитор по математике Павел Бердов выполняет преобразования выражений с корнем

Перейти к этому разделу… Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня. Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и.

Корень (математика)

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и. Что же представляют собой эти таблицы? Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно она показана ниже состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы.

Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6которое является квадратом числа Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и. Объясним принцип их применения при извлечении корней. Допустим, нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа a, при этом число a содержится в таблице n-ых степеней. Тогдаследовательно, число b будет искомым корнем n-ой степени. В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 Находим число 19 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27, следовательно.

Понятно, что таблицы n-ых степеней очень удобны при извлечении корней.

что может стоять под знаком корня